(x-2)²(x-1)>0
Чтобы решить неравенство \((x-2)^2(x-1) > 0\), давайте сначала определим, когда это выражение равно нулю, а затем проанализируем, когда оно больше нуля.
Определение корней:
\((x-2)^2 = 0\) при \(x = 2\) (двойной корень).
\((x-1) = 0\) при \(x = 1\).
Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 1\) и \(x = 2\).Построение числовой прямой:
Разделим числовую прямую на интервалы, основываясь на найденных корнях:- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Анализ знаков:
Теперь проверим знак выражения \((x-2)^2(x-1)\) в каждом из этих интервалов:Для интервала \((-∞, 1)\):
Выберем \(x = 0\):
\((0-2)^2(0-1) = 4 \cdot (-1) = -4\) (отрицательное).Для интервала \((1, 2)\):
Выберем \(x = 1.5\):
\((1.5-2)^2(1.5-1) = (0.5)^2(0.5) = 0.25 \cdot 0.5 = 0.125\) (положительное).Для интервала \((2, +∞)\):
Выберем \(x = 3\):
\((3-2)^2(3-1) = (1)^2(2) = 1 \cdot 2 = 2\) (положительное).
Итоговый результат:
Мы видим, что:- На интервале \((-∞, 1)\) выражение меньше нуля.
- На интервале \((1, 2)\) выражение больше нуля.
- На интервале \((2, +∞)\) выражение также больше нуля.
Границы:
Важно отметить, что в точках \(x = 1\) и \(x = 2\) наше выражение равно нулю, и так как мы ищем неравенство "больше нуля", эти точки не включаются в решение.
Таким образом, окончательный ответ:
\[ x \in (1, 2) \cup (2, +\infty) \]
