В единичном кубе А... D_{1} най- дите угол между прямыми B_{1}*C и B*D_{1}
В единичном кубе, обозначим его вершины как A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0) и D₁(0,0,1), B₁(1,0,1), C₁(1,1,1), D₁(0,1,1).
Чтобы найти угол между прямыми B₁C и BD₁, сначала нужно определить векторы, описывающие эти прямые.
Вектор B₁C: Прямая B₁C проходит от точки B₁(1,0,1) до точки C(1,1,0). Вектор, направляющий эту прямую, будет:
\[ \mathbf{B₁C} = C - B₁ = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1) \]
Вектор BD₁: Прямая BD₁ проходит от точки B(1,0,0) до точки D₁(0,1,1). Вектор, направляющий эту прямую, будет:
\[ \mathbf{BD₁} = D₁ - B = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1) \]
Теперь у нас есть два вектора: \(\mathbf{B₁C} = (0, 1, -1)\) и \(\mathbf{BD₁} = (-1, 1, 1)\). Чтобы найти угол между этими двумя векторами, воспользуемся формулой для определения угла между векторами:
\[ \cos \phi = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|} \]
где \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\mathbf{A}|\) и \(|\mathbf{B}|\) — их длины.
- Скалярное произведение:
\[ \mathbf{B₁C} \cdot \mathbf{BD₁} = (0)(-1) + (1)(1) + (-1)(1) = 0 + 1 - 1 = 0 \]
- Длины векторов:
\[ |\mathbf{B₁C}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \]
\[ |\mathbf{BD₁}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]
Теперь подставим все в формулу для косинуса:
\[ \cos \phi = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0 \]
Поскольку \(\cos \phi = 0\), это означает, что угол \(\phi\) равен 90 градусам.
Таким образом, угол между прямыми B₁C и BD₁ составляет 90 градусов.
