определить характер монотонности функции: f(x)=1/7-x

Чтобы определить характер монотонности функции \( f(x) = \frac{1}{7 - x} \), нам нужно найти её производную и изучить её знак.

1. Найдем производную функции:

   Используем правило производной дроби. Если у нас есть функция вида \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), тогда: \[ f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{(v(x))^2}, \] где \( u(x) = 1 \), а \( v(x) = 7 - x \).

   Тогда \( u'(x) = 0 \), а \( v'(x) = -1 \). Подставим эти значения в формулу производной: \[ f'(x) = \frac{0 \cdot (7 - x) - 1 \cdot (-1)}{(7 - x)^2} = \frac{1}{(7 - x)^2}. \]

2. Анализ производной:

   Производная \( f'(x) = \frac{1}{(7 - x)^2} \) всегда положительна для всех \( x \), при которых \( 7 - x \neq 0 \) (то есть \( x \neq 7 \)). Это означает, что функция возрастает на всех интервалах, где она определена.

3. Определение области определения:

   Функция \( f(x) \) определена на интервале \( (-\infty, 7) \) и \( (7, +\infty) \). В точке \( x = 7 \) функция имеет вертикальную асимптоту.

4. Вывод:

   Так как производная \( f'(x) > 0 \) на интервалах \( (-\infty, 7) \) и \( (7, +\infty) \), функция \( f(x) \) является возрастающей во всей своей области определения.

Таким образом, мы определили, что функция \( f(x) = \frac{1}{7 - x} \) является строго возрастающей на своём определённом интервале. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!