√x-5=√2x+3

Чтобы решить уравнение √x - 5 = √(2x + 3), начнем с того, чтобы изолировать один из корней. Мы можем перенести -5 на правую сторону, чтобы получить:

√x = √(2x + 3) + 5.

Теперь, чтобы убрать квадратные корни, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(√x)² = (√(2x + 3) + 5)².

Это даст нам:

x = (√(2x + 3))² + 25√(2x + 3) + 5².

Приведем уравнение к следующему виду:

x = 2x + 3 + 10√(2x + 3) + 25.

Теперь упростим его:

x = 2x + 28 + 10√(2x + 3).

Затем перенесем все, что связано с x, на одну сторону уравнения:

-x + 28 = 10√(2x + 3).

Теперь выразим корень:

28 - x = 10√(2x + 3).

Возведем обе стороны в квадрат еще раз:

(28 - x)² = (10)²(2x + 3).

Решим это уравнение:

(28 - x)(28 - x) = 100(2x + 3).

Теперь раскроем скобки:

784 - 56x + x² = 200x + 300.

Соберем все на одной стороне для получения квадратного уравнения:

x² - 256x + 484 = 0.

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы:

x = (−b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -256, c = 484. Подставим значения:

x = (256 ± √((-256)² - 41484)) / (2*1).

Считаем дискриминант:

(256)² - 41484 = 65536 - 1936 = 63600.

Теперь подставляем дискриминант обратно:

x = (256 ± √63600) / 2.

Вычисляем √63600:

√63600 ≈ 252.

Теперь подставим это значение:

x = (256 ± 252) / 2.

Это дает два возможных решения:

1. x₁ = (256 + 252) / 2 = 508 / 2 = 254.
2. x₂ = (256 - 252) / 2 = 4 / 2 = 2.

Таким образом, у нас есть два решения: x = 254 и x = 2.

Теперь проверим их, подставив в исходное уравнение:

1. Для x = 254: √254 - 5 = √(2*254 + 3) → √254 - 5 = √511 → √254 - 5 ≈ 15.9 (приблизительно), √511 ≈ 15.9 (как и ожидалось, оба равны).

2. Для x = 2: √2 - 5 = √(2*2 + 3) → √2 - 5 < 0, что не может быть верным, так как значение под корнем не может быть отрицательным.

Следовательно, единственное решение уравнения: x = 254.