В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с основаниями 9 и 15 и острым углом 45° . Найди объём пирамиды, если её высота равна 4

Для нахождения объёма пирамиды используем формулу:

\[ V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h \]

где \( V \) — объём пирамиды, \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

1. Находим площадь основания. Площадь равнобедренной трапеции рассчитывается по формуле:

\[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h_t \]

где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, а \( h_t \) — высота трапеции. В данном случае \( a = 9 \), \( b = 15 \).

2. Найдём высоту трапеции. Мы знаем, что острый угол равнобедренной трапеции составляет 45°. Используем это, чтобы найти высоту \( h_t \). При ординатном проведении из верхней точки трапеции, мы создаём прямоугольный треугольник, где:
   • одна сторона (основание) — это половина разности оснований: \( \frac{b-a}{2} = \frac{15-9}{2} = 3 \).
   • другая сторона (высота) соответствует высоте трапеции \( h_t \).

Для равнобедренного треугольника с острым углом 45°, высота равна основанию:

\[ h_t = 3 \]

Теперь найдем площадь основания трапеции:

\[ S = \frac{(9 + 15)}{2} \cdot 3 = \frac{24}{2} \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36 \]

3. Теперь вычисляем объём пирамиды. Высота \( h = 4 \):

\[ V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = \frac{144}{3} = 48 \]

Таким образом, объём пирамиды равен \( 48 \) кубических единиц.