Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30° . Найди объём пирамиды, если её высота равна 12
Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, нужно использовать формулу:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]
где:
- \( V \) — объем пирамиды,
- \( S \) — площадь основания,
- \( h \) — высота пирамиды.
В данном случае высота \( h = 12 \).
Поскольку это правильная четырёхугольная пирамида, ее основание квадратное. Чтобы рассчитать объем, сначала нужно найти площадь основания \( S \). У нас есть информация о наклоне бокового ребра.
Боковое ребро образует угол \( 30^\circ \) с плоскостью основания. Мы знаем, что:
\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \]
где:
- \( \alpha \) — угол наклона (в нашем случае \( 30^\circ \)),
- \( h \) — высота (12),
- \( a \) — длина стороны основания.
Для угла \( 30^\circ \) мы знаем, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Подставляя в формулу, получится:
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\frac{a}{2}} \]
Переписываем уравнение:
\[ \frac{a}{2} = 12 \sqrt{3} \]
Умножив обе стороны на 2, получаем:
\[ a = 24 \sqrt{3} \]
Теперь можем найти площадь основания \( S \):
\[ S = a^2 = (24 \sqrt{3})^2 = 576 \cdot 3 = 1728 \]
Теперь подставим значения в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1728 \cdot 12 \]
Вычислим:
\[ V = \frac{20736}{3} = 6912 \]
Таким образом, объем правильной четырёхугольной пирамиды равен \( 6912 \) кубических единиц.
