Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если q= 1/6, b3=1/8

Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам понадобятся некоторые значения. Мы знаем, что:

• \( q = \frac{1}{6} \) — это знаменатель прогрессии.
• \( b_3 = \frac{1}{8} \) — это третий член прогрессии.

Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]

Мы можем выразить первый член прогрессии \( b_1 \) через третий член \( b_3 \):

\[ b_3 = b_1 \cdot q^{2} \]

Подставив известные значения:

\[ \frac{1}{8} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \]

Теперь решим уравнение:

\[ \frac{1}{8} = b_1 \cdot \frac{1}{36} \]

Умножим обе стороны уравнения на 36:

\[ b_1 = \frac{1}{8} \cdot 36 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \]

Теперь, зная первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \), мы можем найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{\frac{9}{2}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{6}} \]

Упрощаем выражение:

\[ S = \frac{9}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{54}{10} = \frac{27}{5} \]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии составляет \( \frac{27}{5} \).