Решить диф уравнение первого порядка с разделенными переменными: √y dy=3√x dx
Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделенными переменными \( \sqrt{y} \, dy = 3\sqrt{x} \, dx \), следуем следующим шагам:
Разделим переменные:
Перепишем уравнение так, чтобы все члены с \( y \) были слева, а с \( x \) — справа. Мы имеем: \[ \sqrt{y} \, dy = 3\sqrt{x} \, dx \]Интегрируем обе стороны:
Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения: \[ \int \sqrt{y} \, dy = \int 3\sqrt{x} \, dx \]Для левой части: \[ \int \sqrt{y} \, dy = \frac{2}{3} y^{3/2} + C_1 \]
Для правой части: \[ \int 3\sqrt{x} \, dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C_2 = 2 x^{3/2} + C_2 \]
Приравняем результаты интеграции:
Теперь у нас есть: \[ \frac{2}{3} y^{3/2} = 2 x^{3/2} + C \] где \( C = C_2 - C_1 \) — произвольная константа.Решим уравнение для \( y \):
Умножим обе стороны на \( \frac{3}{2} \): \[ y^{3/2} = 3 x^{3/2} + \frac{3}{2} C \] Теперь, чтобы выразить \( y \), возведем обе стороны в степень \( \frac{2}{3} \): \[ y = \left(3 x^{3/2} + \frac{3}{2} C\right)^{\frac{2}{3}} \]
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения: \[ y = \left(3 x^{3/2} + C'\right)^{\frac{2}{3}}, \] где \( C' = \frac{3}{2} C \) — новая произвольная константа.
Если есть дополнительные вопросы по решению или другим темам, не hesitate to ask!
