Решить задачу Коши для дифуравнения: у"+ 4у'+4у=0, если у(0)= и y'(0)F1.
Для решения задачи Коши для данного дифференциального уравнения второго порядка, нужно разложить его в стандартный вид и найти его общее решение.
У нас есть уравнение:
\[ y'' + 4y' + 4y = 0 \]
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Чтобы решить его, начнем с нахождения характеристического уравнения:
\[ m^2 + 4m + 4 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D\) равен:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]
Так как дискриминант равен 0, у нас есть двойной корень:
\[ m = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2 \]
Поскольку корень кратный, общее решение для уравнения будет выглядеть следующим образом:
\[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-2t} \]
где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные, которые мы определим с помощью начальных условий.
Теперь, используя начальные условия \(y(0) = y_0\) и \(y'(0) = F_1\), найдем значения \(C_1\) и \(C_2\).
- Подставим \(t = 0\) в общее решение:
\[ y(0) = C_1 e^0 = C_1 = y_0 \]
Таким образом, \(C_1 = y_0\).
- Теперь найдем производную \(y'(t)\):
\[ y'(t) = \frac{d}{dt}[(C_1 + C_2 t)e^{-2t}] \] Применим правило произведения:
\[ y'(t) = C_2 e^{-2t} + (C_1 + C_2 t)(-2e^{-2t}) = C_2 e^{-2t} - 2(C_1 + C_2 t)e^{-2t} \] \[ = (C_2 - 2C_1 - 2C_2 t)e^{-2t} \]
Теперь подставим \(t = 0\):
\[ y'(0) = (C_2 - 2C_1)e^0 = C_2 - 2C_1 = F_1 \]
Подставив \(C_1 = y_0\), получаем:
\[ C_2 - 2y_0 = F_1 \quad \Rightarrow \quad C_2 = F_1 + 2y_0 \]
Теперь мы можем подставить найденные значения \(C_1\) и \(C_2\) в общее решение:
\[ y(t) = \left(y_0 + (F_1 + 2y_0) t\right)e^{-2t} \]
Таким образом, решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения с начальными условиями представлено следующим образом:
\[ y(t) = \left(y_0 + (F_1 + 2y_0) t\right)e^{-2t} \]
