Решить задачу Коши для дифуравнения: у"+ 4у'+4у=0, если у(0)= и y'(0)F1. P
Для решения задачи Коши для данного дифференциального уравнения второго порядка:
\[ y'' + 4y' + 4y = 0 \]
с начальными условиями \( y(0) = y_0 \) и \( y'(0) = y_1 \), мы начнем с нахождения характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение: Запишем характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению:
\[ r^2 + 4r + 4 = 0 \]
Это уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]
Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть двойной корень.
Нахождение корней: Решим уравнение:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 0}{2 \cdot 1} = -2 \]
Таким образом, у нас есть двойной корень \( r_1 = r_2 = -2 \).
Общее решение уравнения: Общее решение для уравнения с двойным корнем имеет следующий вид:
\[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-2t} \]
где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные.
Определение постоянных с помощью начальных условий: Теперь, чтобы найти \( C_1 \) и \( C_2 \), подставим начальные условия.
Мы имеем:
\( y(0) = y_0 \): \[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = C_1 = y_0 \]
\( y'(0) = y_1 \): Сначала найдем производную \( y'(t) \):
\[ y'(t) = C_2 e^{-2t} + (C_1 + C_2 t)(-2e^{-2t}) = (C_2 - 2C_1 - 2C_2 t)e^{-2t} \]
Подставляя \( t = 0 \):
\[ y'(0) = (C_2 - 2C_1) e^0 = C_2 - 2y_0 \]
Условие \( y'(0) = y_1 \) дает:
\[ C_2 - 2y_0 = y_1 \implies C_2 = y_1 + 2y_0 \]
Запись окончательного решения: Подставим найденные значения \( C_1 \) и \( C_2 \):
\[ y(t) = (y_0 + (y_1 + 2y_0)t)e^{-2t} \] или выразим как:
\[ y(t) = (y_0(1 + 2t) + y_1 t)e^{-2t} \]
Теперь вы имеете общее решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения. Если у вас есть еще вопросы по теории или другим задачам, не стесняйтесь задавать!
