2х²-х-35>(х+3)²
Чтобы решить неравенство \( 2x^2 - x - 35 > (x + 3)^2 \), начнем с приведения всех членов к одной стороне неравенства.
Первым шагом распишем квадрат \( (x + 3)^2 \): \[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
Теперь подставим это в неравенство: \[ 2x^2 - x - 35 > x^2 + 6x + 9 \]
Далее переместим все члены на одну сторону: \[ 2x^2 - x - 35 - x^2 - 6x - 9 > 0 \]
Упрощаем выражение: \[ x^2 - 7x - 44 > 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x - 44 = 0 \) с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -7, c = -44 \).
Сначала находим дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225 \]
Теперь находим корни: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{7 \pm 15}{2} \]
Таким образом, имеем два корня: \[ x_1 = \frac{22}{2} = 11, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Теперь имеем корни \( x_1 = 11 \) и \( x_2 = -4 \). Следующим шагом нарисуем числовую прямую и отметим на ней корни, разделив ее на интервалы:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, 11) \)
- \( (11, +\infty) \)
Теперь проверим знаки на каждом интервале. Выберем тестовые точки:
Для интервала \( (-\infty, -4) \), например, \( x = -5 \): \[ (-5)^2 - 7(-5) - 44 = 25 + 35 - 44 = 16 > 0 \]
Для интервала \( (-4, 11) \), например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 7(0) - 44 = -44 < 0 \]
Для интервала \( (11, +\infty) \), например, \( x = 12 \): \[ 12^2 - 7(12) - 44 = 144 - 84 - 44 = 16 > 0 \]
Таким образом, неравенство \( x^2 - 7x - 44 > 0 \) выполняется для интервалов \( (-\infty, -4) \) и \( (11, +\infty) \).
Итак, ответ на неравенство: \[ x \in (-\infty, -4) \cup (11, +\infty) \]
