Задание 1 (20 баллов). Переведите числа в десятичную систему счисления: 21023 (5 баллов); 0,548 (5 баллов); 10324,3015 (10 баллов). Приведите полное решение. Задание 2 (20…

Давайте подробно разберем каждое задание.

Задание 1

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

1. 21023 (основание 3):

   • Формула для перевода: \(d_n \cdot b^n + d_{n-1} \cdot b^{n-1} + ... + d_1 \cdot b^1 + d_0 \cdot b^0\).
   • Применим: \[ 2 \cdot 3^4 + 1 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^0 = 2 \cdot 81 + 1 \cdot 27 + 0 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 162 + 27 + 0 + 6 + 3 = 198. \]
   • Ответ: 198.

2. 0,548 (основание 8):

   • Формула для перевода дробной части: \(d_1 \cdot b^{-1} + d_2 \cdot b^{-2} + ...\).
   • Применим: \[ 5 \cdot 8^{-1} + 4 \cdot 8^{-2} + 8 \cdot 8^{-3} = 5 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{64} + 8 \cdot \frac{1}{512} = \frac{5}{8} + \frac{4}{64} + \frac{8}{512} = 0.625 + 0.0625 + 0.015625 = 0.703125. \]
   • Ответ: 0,703125.

3. 10324,3015 (основание 5):

   • Целая часть: \[ 1 \cdot 5^4 + 0 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 = 1 \cdot 625 + 0 + 3 \cdot 25 + 2 \cdot 5 + 4 = 625 + 0 + 75 + 10 + 4 = 714. \]
   • Дробная часть: \[ 3 \cdot 5^{-1} + 0 \cdot 5^{-2} + 1 \cdot 5^{-3} + 5 \cdot 5^{-4} = 3 \cdot \frac{1}{5} + 0 + 1 \cdot \frac{1}{125} + 5 \cdot \frac{1}{625} = 0.6 + 0 + 0.008 + 0.008 = 0.616. \]
   • Ответ: 714,616.

Задание 2

Запишите десятичные числа 63 и 64 в системах счисления с основанием 2 и 4.

1. 63 в двоичной системе (основание 2):

   • Делим 63 на 2: 63 → 31 → 15 → 7 → 3 → 1 → 0.
   • Записываем остатки: 111111 (63 в двоичной системе).

2. 64 в двоичной системе (основание 2):

   • 64 делим на 2: 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 0.
   • Записываем: 1000000 (64 в двоичной системе).

3. 63 в четверичной системе (основание 4):

   • Делим 63 на 4: 63 → 15 → 3 → 0.
   • Остатки: 333 (63 в четверичной системе).

4. 64 в четверичной системе (основание 4):

   • 64 делим на 4: 64 → 16 → 4 → 1 → 0.
   • Остатки: 1000 (64 в четверичной системе).

Задание 3

Перевод десятичных чисел в систему счисления с указанным основанием:

1. 31310 → Х3:

   • Делим 313 на 3:
     • 313 ÷ 3 = 104, остаток 1
     • 104 ÷ 3 = 34, остаток 2
     • 34 ÷ 3 = 11, остаток 1
     • 11 ÷ 3 = 3, остаток 2
     • 3 ÷ 3 = 1, остаток 0
     • 1 ÷ 3 = 0, остаток 1
   • Читаем остатки снизу вверх: 120212.

2. 0,0210 → Х5:

   • Переводим дробь:
   • 0.0210 × 5 = 0.105, 0
   • 0.105 × 5 = 0.525, 0
   • 0.525 × 5 = 2.625, 2
   • 0.625 × 5 = 3.125, 3
   • 0.125 × 5 = 0.625, 0
   • Остатки: 0,00230.
   • Ответ: 0,00230.

3. 1030,1510 → Х8:

   • Целая часть:
     • 1030 ÷ 8 = 128, остаток 6
     • 128 ÷ 8 = 16, остаток 0
     • 16 ÷ 8 = 2, остаток 0
     • 2 ÷ 8 = 0, остаток 2
   • Читаем: 2006.
   • Дробная часть:
     • 0.15 × 8 = 1.20, 1
     • 0.20 × 8 = 1.60, 1
     • 0.60 × 8 = 4.80, 4
     • 0.80 × 8 = 6.40, 6
   • Остатки: 0.1146.
   • Ответ: 2006,1146.

Задание 4

Решим уравнение: 56n + 55n+1 = 96.

1. Запишем уравнение: \[ 56n + 55n \cdot n = 96. \]
2. Упростим: \[ n (55n + 56) = 96. \]
3. Разделим обе стороны на n (предполагая, что \(n \neq 0\)): \[ 55n + 56 = \frac{96}{n}. \]
4. Переносим все в одну сторону: \[ 55n^2 + 56n - 96 = 0. \]
5. Мы можем найти корни этого уравнения через дискриминант \(D\): \[ D = 56^2 - 4 \cdot 55 \cdot (-96) = 3136 + 21120 = 24256. \]
6. Находим корни уравнения: \[ n = \frac{-56 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 55}. \] Подставим \(D\): \[ n = \frac{-56 \pm 156}{110}. \] Корни: \( \frac{100}{110} = \frac{10}{11} \) и \( -\frac{212}{110} \) (отрицательное значение).

Ответ: \( n = \frac{10}{11} \).

Если есть дополнительные вопросы или нужно углубить какое-то из заданий, дайте знать!