В классе 8 девочек и 12 мальчиков. Класс разбили поровну на две группы. Найдите вероятность, что в группах одинаковое число девочек. Ответ округлите до сотых.
Чтобы найти вероятность того, что в двух группах будет одинаковое число девочек, начнем с общей информации. В классе 8 девочек и 12 мальчиков, всего 20 человек. Класс разбивают на две группы по 10 человек.
Этап 1: Определение условий
Количества девочек в группах могут составлять:
- 0 девочек в одной и 8 в другой
- 1 девочка в одной и 7 в другой
- 2 девочки в одной и 6 в другой
- 3 девочки в одной и 5 в другой
- 4 девочки в одной и 4 в другой
- 5 девочек в одной и 3 в другой
- 6 девочек в одной и 2 в другой
- 7 девочек в одной и 1 в другой
- 8 девочек в одной и 0 в другой
Из этого видно, что равное количество девочек в двух группах может быть только 0, 4 или 8. Поскольку у нас всего 8 девочек, единственное возможное равенство - это 4 девочки в каждой группе.
Этап 2: Комбинации для разделения
Теперь посчитаем количество способов выбрать 4 девочки и 6 мальчиков из общего числа.
Количество способов выбрать 4 девочек из 8: \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70. \]
Количество способов выбрать 6 мальчиков из 12: \[ C(12, 6) = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924. \]
Таким образом, общее количество способов выбрать 4 девочки и 6 мальчиков равно: \[ 70 \times 924 = 64740. \]
Этап 3: Общее количество способов разделить класс
Общее количество способов разделить 20 человек на две группы по 10: \[ C(20, 10) = \frac{20!}{10!(20-10)!} = 184756. \]
Этап 4: Вероятность
Теперь найдём вероятность того, что в группах будет одинаковое количество девочек: \[ P = \frac{64740}{184756} \approx 0.3507. \]
Округлим до сотых: \[ P \approx 0.35. \]
Таким образом, вероятность того, что в группах будет одинаковое число девочек, составляет примерно 0.35.
