Для уборки школьной территории класс поделили случайным образом на три группы по 8 человек в каждой. Найдите вероятность того, что друзья Петя и Вася окажутся в одной группе.

Чтобы решить эту задачу, начнем с определения полных условий.

У нас есть 24 ученика (8 человек в каждой из трех групп). Нужно найти вероятность того, что друзья Петя и Вася окажутся в одной группе.

1. Общее количество способов разделить 24 ученика на 3 группы по 8 человек. Это можно посчитать с использованием формулы для расстановок с учетом групп. Общее количество способов деления можно найти следующим образом: \[ \frac{24!}{(8!)^3 \cdot 3!} \] Здесь \(24!\) — это количество способов расставить 24 человека, \( (8!)^3 \) — это количество перестановок внутри каждой группы, а \(3!\) — это способ перестановки самих групп.

2. Количество способов, чтобы Петя и Вася были в одной группе. Если мы поместим Петю и Васю в одну группу, то нужно распределить оставшихся 22 ученика (так как Петя и Вася уже заняли 2 места) на 2 группы по 8 человек и 1 группу из 6 человек. Это делается следующим образом:

   • Сначала выбираем 6 учеников, которые будут в третьей группе: \[ C(22,6) \]
   • Затем оставшихся 16 распределим на 2 группы по 8 человек: \[ \frac{16!}{(8!)^2 \cdot 2!} \]

3. Общее количество подходящих способов (когда Петя и Вася в одной группе): \[ C(22,6) \cdot \frac{16!}{(8!)^2 \cdot 2!} \]

4. Теперь вероятность. Мы можем найти вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество исходов: \[ P = \frac{C(22,6) \cdot \frac{16!}{(8!)^2 \cdot 2!}}{\frac{24!}{(8!)^3 \cdot 3!}} \]

Теперь давайте разобьем это на этапы:

• Вычислим количество способов выбрать 6 человек из 22: \[ C(22,6) = \frac{22!}{6!(22-6)!} = \frac{22!}{6! \cdot 16!} \]

• Подставляя это в формулу для количества благоприятных исходов, и подставляя в формулу для вероятности, мы получаем:

\[ P = \frac{\frac{22!}{6! \cdot 16!} \cdot \frac{16!}{(8!)^2 \cdot 2!}}{\frac{24!}{(8!)^3 \cdot 3!}} \]

Упрощая это выражение, можно заметить, что \(16!\) в числителе и знаменателе сокращается, а также можно значительно сократить другие факторы.

В результате, после упрощения, вероятностью того, что Петя и Вася окажутся в одной группе, составляет:

\[ P = \frac{8}{23} \]

В заключение, вероятность того, что друзья Петя и Вася окажутся в одной группе, равна \( \frac{8}{23} \).