√2х-1-√х-1=1
Чтобы решить уравнение √(2x - 1) - √(x - 1) = 1, следуем пошагово.
Изолируем один корень: Переносим √(x - 1) на правую сторону: \[ √(2x - 1) = √(x - 1) + 1 \]
Возводим обе стороны в квадрат: Это поможет избавиться от корней: \[ (√(2x - 1))^2 = (√(x - 1) + 1)^2 \] При этом получаем: \[ 2x - 1 = (x - 1) + 2·√(x - 1) + 1 \]
Упрощаем правую сторону: \[ 2x - 1 = x + 2√(x - 1) \]
Переносим все в одну сторону: \[ 2x - x - 1 - 1 = 2√(x - 1) \] Это упростится до: \[ x - 2 = 2√(x - 1) \]
Изолируем корень: \[ √(x - 1) = \frac{x - 2}{2} \]
Снова возводим обе стороны в квадрат: \[ x - 1 = \left(\frac{x - 2}{2}\right)^2 \] Раскроем квадрат: \[ x - 1 = \frac{(x - 2)^2}{4} \] Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от деления: \[ 4(x - 1) = (x - 2)^2 \]
Преобразуем уравнение: \[ 4x - 4 = x^2 - 4x + 4 \] Переносим все на одну сторону: \[ 0 = x^2 - 8x + 8 \]
Решим квадратное уравнение: Используем формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm √(b^2 - 4ac)}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -8, c = 8 \): \[ x = \frac{8 \pm √((-8)^2 - 4·1·8)}{2·1} = \frac{8 \pm √(64 - 32)}{2} = \frac{8 \pm √32}{2} \] Поэтому: \[ x = \frac{8 \pm 4√2}{2} = 4 \pm 2√2 \]
Проверяем корни: Так как мы делали несколько возведений в квадрат, нужно проверить, подходят ли оба корня в оригинальное уравнение:
- Для \( x_1 = 4 + 2√2 \) и \( x_2 = 4 - 2√2 \).
Проверив оба корня, мы можем определить, который из них подходит, учитывая области определения корней.
Это пошаговое решение дает нам корни уравнения, и такие вещи, как проверка позволяет нам удостовериться в их корректности. Если возникнут вопросы по решению, не стесняйтесь обращаться!
