Х/х+2 + х+2/х-2 =8/х^2-4
Давайте решим уравнение, которое вы привели:
\[ \frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}. \]
Сначала заметим, что \(x^2 - 4\) можно разложить на множители. Это равно \((x-2)(x+2)\). Таким образом, уравнение можно переписать как:
\[ \frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}. \]
Теперь будем искать общий знаменатель для левой части уравнения. Общий знаменатель будет равен \((x+2)(x-2)\). Перепишем левую часть:
\[ \frac{x(x-2) + (x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)}. \]
Теперь упростим числитель:
- Первый член: \(x(x-2) = x^2 - 2x\).
- Второй член: \((x+2)(x+2) = x^2 + 4x + 4\).
Теперь складываем эти два результата:
\[ x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 2x + 4. \]
Теперь можем записать всю левую часть уравнения:
\[ \frac{2x^2 + 2x + 4}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}. \]
Так как знаменатели одинаковые, приравняем числители:
\[ 2x^2 + 2x + 4 = 8. \]
Сократим все на 2:
\[ x^2 + x + 2 = 4. \]
Теперь перенесем 4 в левую часть:
\[ x^2 + x - 2 = 0. \]
Решая это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \]
Это дает два значения:
- \(x = \frac{2}{2} = 1\);
- \(x = \frac{-4}{2} = -2\).
Но обратите внимание, что нужно проверить, что оба корня не приводят к нулевым знаменателям в изначальных дробях. В этом случае, \(x = -2\) приведет к нулю в знаменателе, поэтому его исключаем.
Таким образом, единственным решением уравнения будет:
\[ \boxed{1}. \]
