√2x+7=x+2

Чтобы решить уравнение \( \sqrt{2x + 7} = x + 2 \), следуем следующим шагам:

1. Изолируем квадратный корень: У нас уже есть \(\sqrt{2x + 7}\) с одной стороны уравнения, и удобно продолжить с этим.

2. Возводим обе стороны в квадрат: Это позволяет избавиться от квадратного корня. У нас получается: \[ (\sqrt{2x + 7})^2 = (x + 2)^2 \] Таким образом, уравнение преобразуется в: \[ 2x + 7 = (x + 2)(x + 2) \] Или: \[ 2x + 7 = x^2 + 4x + 4 \]

3. Переносим все члены уравнения в одну сторону: Мы можем привести подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 0 = x^2 + 4x + 4 - 2x - 7 \] Это приводит нас к: \[ 0 = x^2 + 2x - 3 \]

4. Решаем квадратное уравнение: Теперь у нас есть квадратное уравнение в виде \(x^2 + 2x - 3 = 0\). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = -3\). Подставляем значения: \[ x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4 + 12}}}}{2} = \frac{{-2 \pm \sqrt{16}}}{2} \] Это приводит к: \[ x = \frac{{-2 \pm 4}}{2} \]

5. Находим корни:

   • Первый корень: \(x = \frac{{2}}{2} = 1\)
   • Второй корень: \(x = \frac{{-6}}{2} = -3\)

6. Проверка корней: Нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения исходному уравнению:

   • Для \(x = 1\): \[ \sqrt{2(1) + 7} = \sqrt{9} = 3, \quad 1 + 2 = 3 \quad \text{(верно)} \]
   • Для \(x = -3\): \[ \sqrt{2(-3) + 7} = \sqrt{1} = 1, \quad -3 + 2 = -1 \quad \text{(неверно)} \]

Итак, единственный действительный корень уравнения: \( x = 1 \).