А6. В квадрате ABCD случайным образом выбирают точку. Сделайте рисунок и найдите вероятность события: а) «точка попала в треугольник АВС»; б) «точка попала в треугольник АОВ», где точка О — центр ква-

Рассмотрим квадрат ABCD и две ситуации, описанные в задаче.

1. Рисунок:

   • Изобразим квадрат ABCD. Пусть его стороны равны 1 (для упрощения расчетов).
   • Точки A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0), D(0, 0) будут углами квадрата.
   • Точка O, центр квадрата, будет находиться в координате O(0,5; 0,5).

2. Вероятность события «точка попала в треугольник ABC»:

   • Площадь квадрата ABCD равна 1 (1 * 1).
   • Треугольник ABC имеет вершины A(0, 1), B(1, 1) и C(1, 0).
   • Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}. \]
   • В нашем случае основание AB = 1, высота = 1.
   • Таким образом, площадь треугольника ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}. \]
   • Вероятность того, что случайно выбранная точка попадет в треугольник ABC: \[ P_{ABC} = \frac{S_{ABC}}{S_{\text{квадрат}}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}. \]

3. Вероятность события «точка попала в треугольник AOB»:

   • Теперь рассмотрим треугольник AOB, имеющий вершины A(0, 1), B(1, 1) и O(0,5; 0,5).
   • Площадь треугольника AOB можно найти таким же образом:
   • Площадь треугольника можно найти, используя формулу: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|, \]
   • Подставим координаты A, B и O: \[ S_{AOB} = \frac{1}{2} \left| 0(1 - 0.5) + 1(0.5 - 1) + 0.5(1 - 1) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 - 0.5 + 0 \right| = \frac{1}{2} \cdot 0.5 = \frac{1}{4}. \]
   • Вероятность того, что случайно выбранная точка попадет в треугольник AOB: \[ P_{AOB} = \frac{S_{AOB}}{S_{\text{квадрат}}} = \frac{\frac{1}{4}}{1} = \frac{1}{4}. \]

Ответ: а) Вероятность события «точка попала в треугольник ABC» равна \( \frac{1}{2} \). б) Вероятность события «точка попала в треугольник AOB» равна \( \frac{1}{4} \).