А6. В квадрате ABCD случайным образом выбирают точку. Сделайте рисунок и найдите вероятность события: а) «точка попала в треугольник АВС»; б) «точка попала в треугольник АОВ», где точка О — центр квадрата
Для решения поставленной задачи начнем с описания квадрата ABCD и необходимых фигур.
Рисунок
- Квадрат ABCD:
- Вертикальные стороны: AB и CD.
- Горизонтальные стороны: AD и BC.
- Углы:
- A (0, 0)
- B (1, 0)
- C (1, 1)
- D (0, 1)
- Центр квадрата O будет находиться в (0.5, 0.5).
Рассчет вероятностей
Обозначим площадь квадрата: Площадь квадрата ABCD равна \( S_{\text{квадрат}} = a^2 \), где \( a \) — длина стороны квадрата. Пусть \( a = 1 \) (это можно сделать без ограничения общности).
Тогда: \[ S_{\text{квадрат}} = 1^2 = 1. \]
а) Вероятность попадания точки в треугольник ABC
Треугольник ABC имеет вершины A, B и C.
Площадь треугольника ABC: \[ S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}. \]
Вероятность попадания точки в треугольник ABC: \[ P(\text{ABC}) = \frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{квадрат}}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}. \]
б) Вероятность попадания точки в треугольник AOB
Углы треугольника AOB — это A (0, 0), B (1, 0) и O (0.5, 0.5).
Площадь треугольника AOB: Используем формулу площади треугольника по координатам вершин: \[ S_{\text{AOB}} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|, \] где:
- \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) (A),
- \( (x_2, y_2) = (1, 0) \) (B),
- \( (x_3, y_3) = (0.5, 0.5) \) (O).
Подставляем значения: \[ S_{\text{AOB}} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - 0.5) + 1(0.5 - 0) + 0.5(0 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 0.5 \right| = \frac{1}{2} \cdot 0.5 = \frac{1}{4}. \]
Вероятность попадания точки в треугольник AOB: \[ P(\text{AOB}) = \frac{S_{\text{AOB}}}{S_{\text{квадрат}}} = \frac{\frac{1}{4}}{1} = \frac{1}{4}. \]
Ответы:
а) Вероятность попадания точки в треугольник ABC: \( \frac{1}{2} \).
б) Вероятность попадания точки в треугольник AOB: \( \frac{1}{4} \).
