Вычислить определитель разложив его по первой строке 2 5 1 6 -2 8 -1 3 7
Чтобы вычислить определитель матрицы, давайте разложим его по первой строке. У нас есть следующая матрица:
\[ \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 6 & -2 & 8 \\ -1 & 3 & 7 \\ \end{vmatrix} \]
Определитель матрицы \(A\) можно вычислить по формуле:
\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \]
где \(C_{ij}\) — это соответствующий алгебраический остаток, который равен \((-1)^{i+j}\) умноженному на определитель матрицы, оставшейся после удаления \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца.
В нашей матрице:
- \(a_{11} = 2\)
- \(a_{12} = 5\)
- \(a_{13} = 1\)
Сначала найдем алгебраические остатки:
- Для \(C_{11}\) — это определитель матрицы, полученной после удаления первой строки и первого столбца:
\[ \begin{vmatrix} -2 & 8 \\ 3 & 7 \\ \end{vmatrix} = (-2) \cdot 7 - 8 \cdot 3 = -14 - 24 = -38 \]
Таким образом, \(C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot (-38) = -38\).
- Для \(C_{12}\) — это определитель матрицы, полученной после удаления первой строки и второго столбца:
\[ \begin{vmatrix} 6 & 8 \\ -1 & 7 \\ \end{vmatrix} = 6 \cdot 7 - 8 \cdot (-1) = 42 + 8 = 50 \]
Так что \(C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot 50 = -50\).
- Для \(C_{13}\) — это определитель матрицы, полученной после удаления первой строки и третьего столбца:
\[ \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{vmatrix} = 6 \cdot 3 - (-2) \cdot (-1) = 18 - 2 = 16 \]
Значит, \(C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot 16 = 16\).
Теперь подставляем всё это в формулу вычисления определителя:
\[ \text{det}(A) = 2 \cdot (-38) + 5 \cdot (-50) + 1 \cdot 16 \]
\[ \text{det}(A) = -76 - 250 + 16 = -310 \]
Таким образом, определитель данной матрицы равен \(-310\).
