Решите систему |х+1|>6 x^2+x-30<0
Для решения данной системы неравенств, давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
- Решим первое неравенство:
\(|x + 1| > 6\)
Это неравенство подразумевает два случая:
Сначала решим случай, когда \(x + 1 > 6\):
\[ x + 1 > 6 \quad \Rightarrow \quad x > 5 \]
Теперь рассмотрим случай, когда \(x + 1 < -6\):
\[ x + 1 < -6 \quad \Rightarrow \quad x < -7 \]
Таким образом, первое неравенство даёт нам два промежутка: \(x < -7\) и \(x > 5\).
- Теперь решим второе неравенство:
\(x^2 + x - 30 < 0\)
Сначала найдем корни соответствующего уравнения:
\[ x^2 + x - 30 = 0 \]
Для этого используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]
Корни уравнения можно найти по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 11}{2} \]
В результате получаем:
\[ x_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-12}{2} = -6 \]
Неравенство \(x^2 + x - 30 < 0\) имеет корни в точках \(x = -6\) и \(x = 5\). Теперь необходимо определить, на каких промежутках это неравенство выполняется:
Если взять тестовые точки, например, \(x < -6\), то подставив \(x = -7\):
\[ (-7)^2 + (-7) - 30 = 49 - 7 - 30 = 12 > 0 \quad (\text{не выполняется}) \]
Между \(-6\) и \(5\), например, \(x = 0\):
\[ 0^2 + 0 - 30 = -30 < 0 \quad (\text{выполняется}) \]
При \(x > 5\), например, \(x = 6\):
\[ 6^2 + 6 - 30 = 36 + 6 - 30 = 12 > 0 \quad (\text{не выполняется}) \]
Таким образом, это неравенство выполняется на промежутке \(-6 < x < 5\).
- Теперь объединим результаты из обоих неравенств:
Первое неравенство даёт:
\(x < -7\) и \(x > 5\)Второе неравенство даёт:
\(-6 < x < 5\)
Теперь ищем общие решения. Мы видим, что эти промежутки не пересекаются:
- \(x > 5\) и \(-6 < x < 5\) не имеют общих решений, так как \(x\) не может одновременно быть больше \(5\) и при этом меньше \(5\).
Таким образом, решение данной системы неравенств отсутствует, так как нет значений \(x\), которые бы удовлетворяли одновременно обоим неравенствам.
