Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-6x^2+9 на отрезке [-2;2].
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9 \) на отрезке \([-2; 2]\), начнем с нахождения критических точек, где производная функции равна нулю.
Сначала вычислим производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x \]
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ 3x^2 - 12x = 0 \]
Выносим \( 3x \) за скобки:
\[ 3x(x - 4) = 0 \]
Таким образом, получаем два значения:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 \]
Поскольку \( x = 4 \) находится за пределами нашего интервала \([-2; 2]\), мы оставим только \( x = 0 \).
Теперь подставим найденные критические точки и концы интервала в функцию \( f(x) \):
- \( f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 24 + 9 = -23 \)
- \( f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 9 = 0 - 0 + 9 = 9 \)
- \( f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 \)
Теперь сравним все значения:
- \( f(-2) = -23 \)
- \( f(0) = 9 \)
- \( f(2) = -7 \)
Наибольшее значение функции на отрезке \([-2; 2]\) равно \( 9 \) при \( x = 0 \), а наименьшее значение равно \( -23 \) при \( x = -2 \).
Таким образом, наибольшее значение функции — \( 9 \), наименьшее — \( -23 \).
