Доведіть, що є непарною функція: 1) f(x) = - 4x ^ 3 + 2x 3) f(x) = sqrt(9 - x) - sqrt(9 + x) 2) f(x) = (x ^ 3 + 3x)/(2x ^ 2 + 1) 4) f(x)=2x+x/[x]
Давайте докажем, что каждую из указанных функций можно отнести к непарным.
Функция называется непарной, если выполняется следующее условие: \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) в области определения функции.
\( f(x) = -4x^3 + 2x \)
Рассмотрим \( f(-x) \): \[ f(-x) = -4(-x)^3 + 2(-x) = -4(-x^3) - 2x = 4x^3 - 2x \]
Сравним \( -f(x) \): \[ -f(x) = -(-4x^3 + 2x) = 4x^3 - 2x \]
У нас получается \( f(-x) = -f(x) \), что и доказывает, что функция непарная.
\( f(x) = \frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1} \)
Рассмотрим \( f(-x) \): \[ f(-x) = \frac{(-x)^3 + 3(-x)}{2(-x)^2 + 1} = \frac{-x^3 - 3x}{2x^2 + 1} \]
Посчитаем \( -f(x) \): \[ -f(x) = -\frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1} = \frac{-x^3 - 3x}{2x^2 + 1} \]
В этом случае также \( f(-x) = -f(x) \). Следовательно, функция непарная.
\( f(x) = \sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x} \)
Рассмотрим \( f(-x) \): \[ f(-x) = \sqrt{9 - (-x)} - \sqrt{9 + (-x)} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x} \]
Сравним \( -f(x) \): \[ -f(x) = -(\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x}) = -\sqrt{9 - x} + \sqrt{9 + x} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x} \]
Мы видим, что \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, функция непарная.
\( f(x) = 2x + \frac{x}{[x]} \)
Здесь \( [x] \) — это целая часть \( x \). Поскольку целая часть не является линейной функцией и зависит от \( x \), необходимо проверить, как функция ведет себя.
Рассмотрим \( f(-x) \): \[ f(-x) = 2(-x) + \frac{-x}{[-x]} \] Здесь важно учитывать, что \( [-x] \) может меняться в зависимости от значения \( x \). Для нецелых \( x \): \[ [-x] = -[x] - 1 \quad \text{(если \( x \) не целое)} \]
Однако, так как это более сложная функция и её непарность может зависеть от конкретных значений \( x \), следует рассмотреть конкретные случаи для более детального анализа.
В общем, для линейных частей можно сказать, что \( 2(-x) = -2x \) и вопрос о непарности будет зависеть от поведения второй части функции. Это требуется дальнейшего анализа.
Таким образом, для первых трех функций мы уверенно доказали непарность, а для четвертой функции её зависимость от целой части требует более детального исследования.
