тело движеться прямолинейно по закону x=x(t) где x координата тела в метрах t время в секундах в какие моменты времени скорость точки будет равна 0? определить интервалы…

Чтобы решить вашу задачу, нужно определить скорость и ускорение тела, описанное уравнением \( x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 - 32t - 6 \).

1. Вычисление скорости: Скорость тела \( v(t) \) является производной координаты \( x(t) \) по времени \( t \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = x'(t) = t^2 - 4t - 32 \]

2. Определение моментов времени, когда скорость равна 0: Чтобы найти, когда скорость равна нулю, решим уравнение \( v(t) = 0 \): \[ t^2 - 4t - 32 = 0 \] Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \] Теперь найдем корни: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 12}{2} \] Это дает два значения: \[ t_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]

   Но время не может быть отрицательным, поэтому принимаем только \( t = 8 \) секунду.

3. Определение интервалов возрастания и убывания скорости: Найдем, когда скорость положительна и когда отрицательна, анализируя знак функции \( v(t) \):

   • Для \( t < 8 \) (например, подставим \( t = 0 \)): \( v(0) = -32 < 0 \) (уменьшается).
   • Для \( t > 8 \) (например, подставим \( t = 10 \)): \( v(10) = 10^2 - 4 \cdot 10 - 32 = 100 - 40 - 32 = 28 > 0 \) (увеличивается).

   Таким образом, скорость:

   • Убывает на интервале \( (-\infty, 8) \)
   • Увеличивается на интервале \( (8, +\infty) \)

4. Вычисление ускорения: Ускорение \( a(t) \) – это производная скорости по времени: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = v'(t) = 2t - 4 \] Подставим \( t = 8 \): \[ a(8) = 2 \cdot 8 - 4 = 16 - 4 = 12 \, \text{м/с}^2 \]

Итак, резюмируя:

• Скорость равна 0 в момент времени \( t = 8 \) секунд.
• Интервалы возрастания и убывания скорости: убывание на \( (-\infty, 8) \) и увеличение на \( (8, +\infty) \).
• Ускорение тела в этот момент времени составляет \( 12 \, \text{м/с}^2 \).