Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁: AB=2 BC=4, AA₁=6 Найдите расстояние от точки D до плоскости ACD₁

Для нахождения расстояния от точки D до плоскости ACD₁, нам нужно сначала определить координаты всех вершин прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и уравнение плоскости ACD₁.

Обозначим координаты вершин:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 4, 0)
• D(0, 4, 0)
• A₁(0, 0, 6)
• B₁(2, 0, 6)
• C₁(2, 4, 6)
• D₁(0, 4, 6)

Теперь определим плоскость ACD₁. Для этого нам нужны три точки, которые принадлежат этой плоскости: точки A, C и D₁.

Координаты этих точек:

• A(0, 0, 0)
• C(2, 4, 0)
• D₁(0, 4, 6)

Теперь найдем векторы AC и AD₁:

• Вектор AC = C - A = (2, 4, 0) - (0, 0, 0) = (2, 4, 0)
• Вектор AD₁ = D₁ - A = (0, 4, 6) - (0, 0, 0) = (0, 4, 6)

Теперь вычислим векторное произведение этих двух векторов, чтобы найти нормаль к плоскости: \[ \mathbf{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD₁} \] \[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 6 \end{vmatrix} \] Вычисляем детерминант: \[ \mathbf{n} = \mathbf{i}(4 \cdot 6 - 0 \cdot 4) - \mathbf{j}(2 \cdot 6 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 4 - 0 \cdot 4) \] \[ \mathbf{n} = \mathbf{i}(24) - \mathbf{j}(12) + \mathbf{k}(8) = (24, -12, 8) \]

Теперь мы можем записать уравнение плоскости ACD₁ в виде: \[ 24x - 12y + 8z = d \] Чтобы найти d, подставим координаты точки A(0, 0, 0): \[ d = 24 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 8 \cdot 0 = 0 \] Таким образом, уравнение плоскости ACD₁ будет: \[ 24x - 12y + 8z = 0 \]

Теперь найдем расстояние от точки D(0, 4, 0) до плоскости. Расстояние от точки (x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле: \[ \text{Расстояние} = \frac{|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Подставляя значения:

• A = 24, B = -12, C = 8, D = 0
• x₀ = 0, y₀ = 4, z₀ = 0

Расстояние будет: \[ \text{Расстояние} = \frac{|24 \cdot 0 - 12 \cdot 4 + 8 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{24^2 + (-12)^2 + 8^2}} \] \[ = \frac{|0 - 48 + 0|}{\sqrt{576 + 144 + 64}} = \frac{48}{\sqrt{784}} = \frac{48}{28} = \frac{12}{7} \]

Итак, расстояние от точки D до плоскости ACD₁ равно \(\frac{12}{7}\).