,исследуйте функцию на чёткость y=x⁶-5x
Для исследования функции \( y = x^6 - 5x \) на чёткость (в частности, на наличие экстримумов и точек перегиба), начнем с нахождения её производной.
Нахождение первой производной:
Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^6 - 5x) = 6x^5 - 5 \]
Нахождение критических точек:
Критические точки получаются при равенстве первой производной нулю: \[ 6x^5 - 5 = 0 \] Это уравнение можно решить следующим образом: \[ 6x^5 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^5 = \frac{5}{6} \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt[5]{\frac{5}{6}} \]
Таким образом, у нас есть одна критическая точка \( x = \sqrt[5]{\frac{5}{6}} \).
Нахождение второй производной:
Теперь найдём вторую производную, чтобы определить, является ли эта критическая точка минимумом или максимумом: \[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^5 - 5) = 30x^4 \]
Анализ второй производной:
Подставим критическую точку в вторую производную: \[ y''\left(\sqrt[5]{\frac{5}{6}}\right) = 30 \left(\sqrt[5]{\frac{5}{6}}\right)^4 \] Поскольку \( x^4 \) всегда положительно для любых \( x \), и \( 30 > 0 \), то: \[ y'' > 0 \] Это указывает на то, что функция имеет минимум в точке \( x = \sqrt[5]{\frac{5}{6}} \).
Поведение функции на краях:
Можно также рассмотреть пределы функции в крайностях:
- При \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \) (так как \( x^6 \) доминирует),
- При \( x \to +\infty \), также \( y \to +\infty \).
Таким образом, функция \( y = x^6 - 5x \) имеет минимум в точке \( x = \sqrt[5]{\frac{5}{6}} \) и стремится к бесконечности с обеих сторон. Это дает полное представление о её поведении и чёткости.
