У Миша в кармане лежат 100 одинаковых по форме карточек, на которых записано по одному целому числу от 1 до 100 ( каждое число записано ровно на одной карточке). Какое наименьшее число карточек должен вынуть наугад Миша, чтобы среди записаных на них чисел заведомо нашлись два, ссума которых- простое число?

Чтобы решить задачу, давайте разберем, какие простые числа есть в пределах возможных сумм, которые могут быть получены при сложении двух целых чисел от 1 до 100. Простыми называют числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самое себя.

Максимальная сумма двух чисел, которые может выбрать Миша, составляет 100 + 100 = 200. Простые числа в диапазоне от 2 до 200 выглядят так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Теперь важно учитывать, что сумма двух четных чисел или двух нечетных чисел всегда будет четным числом, а только четное число (кроме 2) не является простым. Единственная возможность для получения простого числа – это получить сумму, которая включает одно четное и одно нечетное число.

Четными являются числа: 2, 4, 6, ..., 100 (всего 50 четных чисел). Нечетными являются числа: 1, 3, 5, ..., 99 (всего 50 нечетных чисел).

Если Миша вынет карточки, пусть сначала он вытащит 51 карточку. В этом случае, по принципу пирога (принципа Дирихле), среди вытянутых карточек будет как минимум 26 четных или 26 нечетных. Таким образом, он обязательно получит один четный и один нечетный номер, что позволит ему получить сумму, равную простому числу.

Следовательно, чтобы у Миши гарантированно были два числа, сумма которых — простое число, он должен вынуть минимум 51 карточку.