чему равна площадь фигуры, ограниченной прямой x=3, осью Ox и графиком функции y=x²+2x?
Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямой \( x=3 \), осью \( Ox \) и графиком функции \( y=x^2+2x \), необходимо выполнить несколько шагов.
- Найдем точки пересечения графика функции с осью \( Ox \). Для этого решим уравнение \( y=x^2+2x=0 \):
\[ x(x+2) = 0 \]
Это дает нам два корня: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).
Теперь определим, что необходимо для вычисления площади. Площадь будет находиться между графиком функции и осью \( Ox \) от \( x = -2 \) до \( x = 3 \).
Найдём площадь под графиком функции до линии \( x = 3 \). Площадь между графиком функции и осью \( Ox \) считается как интеграл функции от \( x = -2 \) до \( x = 3 \):
\[ S = \int_{-2}^{3} (x^2 + 2x) \, dx \]
- Считаем интеграл. Найдём первообразную:
\[ \int (x^2 + 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C \]
Теперь вычислим определённый интеграл:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{3} \]
- Вычислим значения на границах интегрирования. Для \( x = 3 \):
\[ \frac{3^3}{3} + 3^2 = \frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18 \]
Для \( x = -2 \):
\[ \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 = \frac{-8}{3} + 4 = \frac{-8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3} \]
- Теперь воспользуемся результатами для вычисления площади:
\[ S = 18 - \frac{4}{3} = \frac{54}{3} - \frac{4}{3} = \frac{50}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямой \( x=3 \), осью \( Ox \) и графиком функции \( y=x^2+2x \), равна \( \frac{50}{3} \) квадратных единиц.
