вычислите: sin(arcctg(-4/3))

Чтобы вычислить выражение \( \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) \), начнем с понимания того, что означает функция аркотангенс (arcctg).

1. Обозначим \( y = \text{arcctg}(-\frac{4}{3}) \). Это значит, что \( \text{ctg}(y) = -\frac{4}{3} \).

2. Из определения котангенса: \( \text{ctg}(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)} \), мы можем записать: \[ \frac{\cos(y)}{\sin(y)} = -\frac{4}{3} \] Это указывает на то, что \( \cos(y) = -4k \) и \( \sin(y) = 3k \) для некоторого положительного константа \( k \).

3. Мы можем найти \( k \) с помощью соотношения \( \sin^2(y) + \cos^2(y) = 1 \): \[ (3k)^2 + (-4k)^2 = 1 \] \[ 9k^2 + 16k^2 = 1 \implies 25k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{25} \implies k = \frac{1}{5} \]

4. Теперь подставим \( k \) для вычисления \( \sin(y) \) и \( \cos(y) \): \[ \sin(y) = 3k = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] \[ \cos(y) = -4k = -4 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{4}{5} \]

5. Теперь мы можем выразить \( \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) \): \[ \sin(y) = \frac{3}{5} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) = \frac{3}{5} \]