найдите наибольшее значение функции y=x²-4x+5+|1-x| на промежутке [0;4]
Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x| \) на интервале \([0;4]\), давайте сначала разберем функцию на части.
Функция состоит из квадратного уравнения \( x^2 - 4x + 5 \) и модуля \( |1 - x| \). Разберем модуль:
- Когда \( x < 1 \), \( |1 - x| = 1 - x \).
- Когда \( x \geq 1 \), \( |1 - x| = x - 1 \).
Теперь можно рассмотреть два случая.
Случай 1: \( x < 1 \) (на интервале [0;1])
Здесь \( y = x^2 - 4x + 5 + (1 - x) = x^2 - 5x + 6 \).
Теперь найдем производную и приравняем к нулю:
\[ y' = 2x - 5 \]
Решим уравнение:
\[ 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \]
Но \( x = \frac{5}{2} \) находится вне нашего подинтервала \([0;1]\). Поэтому мы проверим значения функции в границах:
- \( y(0) = 0^2 - 4(0) + 5 + |1 - 0| = 5 + 1 = 6 \)
- \( y(1) = 1^2 - 4(1) + 5 + |1 - 1| = 1 - 4 + 5 + 0 = 2 \)
Случай 2: \( x \geq 1 \) (на интервале [1;4])
Здесь \( y = x^2 - 4x + 5 + (x - 1) = x^2 - 3x + 4 \).
Находим производную:
\[ y' = 2x - 3 \]
Решим уравнение:
\[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \]
Теперь проверим эту точку и границы:
- \( y(1) = 1^2 - 3(1) + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \)
- \( y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{7}{4} \)
- \( y(4) = 4^2 - 3(4) + 4 = 16 - 12 + 4 = 8 \)
Сравнение значений
Теперь сравним полученные значения:
- \( y(0) = 6 \)
- \( y(1) = 2 \)
- \( y\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{7}{4} \)
- \( y(4) = 8 \)
Наибольшее значение функции на интервале \([0;4]\) равно \( 8 \) и достигается в точке \( x = 4 \).
Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке \([0;4]\) составляет 8.
