Найди f ′ ( 2 ) f ′ (2) , если f ( x ) = ( 4 x − 5 ) 3 f(x)=(4x−5) 3 .

Чтобы найти производную функции \( f(x) = (4x - 5)^3 \) и затем определить \( f'(2) \), начнем с вычисления производной \( f'(x) \) с использованием правила цепной производной.

Сначала применим правило цепи:

1. Обозначим \( u = 4x - 5 \), тогда \( f(x) = u^3 \).

2. Найдем производную \( f'(x) \) по числу \( u \): \[ f'(x) = 3u^2 \cdot u' \] где \( u' = \frac{d}{dx}(4x - 5) = 4 \).

3. Подставляем \( u \) обратно в уравнение: \[ f'(x) = 3(4x - 5)^2 \cdot 4 = 12(4x - 5)^2. \]

Теперь вычислим \( f'(2) \):

1. Сначала подставим \( x = 2 \) в выражение \( 4x - 5 \): \[ 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3. \]

2. Теперь вычислим \( f'(2) \): \[ f'(2) = 12(3)^2 = 12 \cdot 9 = 108. \]

Таким образом, \( f'(2) = 108 \).