2+x-x²/x-3<=0
Чтобы решить неравенство \( \frac{2 + x - x^2}{x - 3} \leq 0 \), давайте сначала упростим его и найдем критические точки.
Определим числитель и знаменатель: Числитель: \( 2 + x - x^2 = -x^2 + x + 2 \).
Знаменатель: \( x - 3 \).
Найдем корни числителя: Мы можем решить уравнение \( -x^2 + x + 2 = 0 \): Умножим на \(-1\): \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Теперь найдем корни с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Таким образом, \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \).
Критические точки: Наша функция будет равна нулю в точках \( x = -1 \) и \( x = 2 \), а также не определена в точке \( x = 3 \).
Построим интервал: Рассмотрим интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), \( (2, 3) \), \( (3, \infty) \).
Знаем знак на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство:
Для интервала \( (-\infty, -1) \), например, \( x = -2 \): \[ \frac{2 - 2 - 4}{-5} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5} > 0 \]
Для интервала \( (-1, 2) \), например, \( x = 0 \): \[ \frac{2 + 0 - 0}{0 - 3} = \frac{2}{-3} < 0 \]
Для интервала \( (2, 3) \), например, \( x = 2.5 \): \[ \frac{2 + 2.5 - (2.5)^2}{2.5 - 3} \] Числитель: \( 2 + 2.5 - 6.25 = -1.75 \) (отрицателен), знаменатель: \( -0.5 \) (отрицателен), итог: положителен.
Для интервала \( (3, \infty) \), например, \( x = 4 \): \[ \frac{2 + 4 - 16}{4 - 3} = \frac{-10}{1} < 0 \]
Составим результирующее неравенство. Теперь у нас есть знаки на интервалах:
- \( (-\infty, -1) \) - положительный
- \( (-1, 2) \) - отрицательный
- \( (2, 3) \) - положительный
- \( (3, \infty) \) - отрицательный
Неравенство \( \leq 0 \) с учетом точек: Оно выполняется на интервале \( [-1, 2] \) (числитель равен нулю в \( x = -1 \) и \( x = 2 \)) и \( (3, \infty) \) (но знак там меняется, обратите внимание на точки разрыва).
Таким образом, решение неравенства: \[ [-1, 2] \cup (3, +\infty) \]
