Вычислить длину дуги полукубической параболы ay^2=x^2 от начала координат до точки с абсциссой x=5a
Чтобы вычислить длину дуги полукубической параболы \( ay^2 = x^2 \) от начала координат до точки с абсциссой \( x = 5a \), сначала нужно выразить \( y \) через \( x \) и определить границы интегрирования.
Из уравнения параболы имеем:
\[ y = \frac{x}{\sqrt{a}} \]
Далее, длина дуги \( L \) между двумя точками на кривой может быть найдена с помощью следующей формулы:
\[ L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \]
Где \( \frac{dy}{dx} \) - производная \( y \) по \( x \).
Сначала найдем производную:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{a}} \]
Теперь подставим эту производную в формулу для длины дуги:
\[ L = \int_{0}^{5a} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2} \, dx \]
Упростим подкоренное выражение:
\[ L = \int_{0}^{5a} \sqrt{1 + \frac{1}{a}} \, dx = \int_{0}^{5a} \sqrt{\frac{a + 1}{a}} \, dx \]
Это можно упростить еще больше:
\[ L = \sqrt{\frac{a + 1}{a}} \int_{0}^{5a} dx \]
Теперь вычислим интеграл:
\[ \int_{0}^{5a} dx = 5a \]
Таким образом, длина дуги:
\[ L = \sqrt{\frac{a + 1}{a}} \cdot 5a = 5a \sqrt{\frac{a + 1}{a}} = 5\sqrt{a(a + 1)} \]
Итак, длина дуги полукубической параболы \( ay^2 = x^2 \) от начала координат до точки с абсциссой \( x = 5a \) равна \( 5\sqrt{a(a + 1)} \).
