X³+27/x+3>0

Чтобы решить неравенство \( \frac{x^3 + 27}{x + 3} > 0 \), начнем с упрощения выражения.

1. Факторизация числителя: Заметим, что выражение \( x^3 + 27 \) можно разложить. Это формула суммы кубов: \[ x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \] Таким образом, неравенство можно переписать как: \[ \frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x + 3} > 0 \]

2. Сокращение: Если \( x + 3 \neq 0 \) (то есть \( x \neq -3 \)), можем сократить \( x + 3 \): \[ x^2 - 3x + 9 > 0 \]

3. Анализ квадратного трёхчлена: Чтобы понять, когда \( x^2 - 3x + 9 > 0 \), найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение \( x^2 - 3x + 9 = 0 \) не имеет вещественных корней. Следовательно, эта парабола всегда положительна.

4. Итоговое решение: Теперь мы знаем, что \( x^2 - 3x + 9 > 0 \) для всех \( x \).

Таким образом, изначальное неравенство \( \frac{x^3 + 27}{x + 3} > 0 \) выполняется для всех \( x \), кроме точки, где происходит деление на ноль (\( x \neq -3 \)).

Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty) \).