Вычислить объем тела полученного вращением вокруг оси Ох фигуры , ограниченной одной волной синусоиды y=sin4x и осью Ох

Для того чтобы вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной одной волной синусоиды \(y = \sin(4x)\) и осью Ox, мы можем воспользоваться методом.disk (или методом цилиндрических оболочек).

1. Определим границы интегрирования: Один полный период синусоиды \(y = \sin(4x)\) соответствует интервалу \(x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]\). Это связано с тем, что синус с частотой 4 завершает один полный цикл за \(2\pi/4 = \pi/2\).

2. Формула для объема: Объем вращающегося тела можно вычислить по формуле: \[ V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx \] где \(f(x) = \sin(4x)\), \(a = 0\), и \(b = \frac{\pi}{4}\).

3. Подставляем все в формулу: \[ V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sin(4x))^2 \, dx \]

4. Используем формулу для \((\sin(A))^2\): \[ (\sin(4x))^2 = \frac{1 - \cos(8x)}{2} \]

5. Интегрируем: \[ V = \pi \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos(8x)}{2} \, dx \] Разделяем интеграл: \[ V = \frac{\pi}{2} \left( \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(8x) \, dx \right) \]

6. Вычислим оба интеграла:

   • Первый интеграл: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \]

   • Второй интеграл: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(8x) \, dx = \left[ \frac{\sin(8x)}{8} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sin(2\pi)}{8} - \frac{\sin(0)}{8} = 0 \]

7. Вставляем интегралы обратно в формулу: \[ V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi^2}{8} \]

Таким образом, объем тела, полученного вращением, равен: \[ V = \frac{\pi^2}{8} \]