7^n+3n-1 кратно 9
Для того чтобы выяснить, при каких значениях \( n \) выражение \( 7^n + 3n - 1 \) кратно 9, нам нужно рассмотреть остатки от деления каждого слагаемого на 9.
Сначала найдем остаток от \( 7^n \) при делении на 9. Мы можем использовать правило преобразования степеней по модулю:
- \( 7^1 \equiv 7 \mod 9 \)
- \( 7^2 \equiv 49 \equiv 4 \mod 9 \)
- \( 7^3 \equiv 28 \equiv 1 \mod 9 \)
Теперь этот цикл повторяется, так как \( 7^4 \equiv 7 \mod 9 \), \( 7^5 \equiv 4 \mod 9 \), и так далее. Мы можем заметить, что остатку от \( 7^n \) по модулю 9 повторяются каждые три числа:
- Если \( n \equiv 0 \mod 3 \), то \( 7^n \equiv 1 \mod 9 \)
- Если \( n \equiv 1 \mod 3 \), то \( 7^n \equiv 7 \mod 9 \)
- Если \( n \equiv 2 \mod 3 \), то \( 7^n \equiv 4 \mod 9 \)
Следующим шагом будет рассмотреть \( 3n \mod 9 \):
- Если \( n \equiv 0 \mod 3 \), то \( 3n \equiv 0 \mod 9 \)
- Если \( n \equiv 1 \mod 3 \), то \( 3n \equiv 3 \mod 9 \)
- Если \( n \equiv 2 \mod 3 \), то \( 3n \equiv 6 \mod 9 \)
Теперь мы можем сложить \( 7^n \) и \( 3n - 1 \) и посмотреть, когда результат будет равен 0 по модулю 9.
Если \( n \equiv 0 \mod 3 \): \[ 7^n + 3n - 1 \equiv 1 + 0 - 1 \equiv 0 \mod 9 \]
Если \( n \equiv 1 \mod 3 \): \[ 7^n + 3n - 1 \equiv 7 + 3 - 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9 \]
Если \( n \equiv 2 \mod 3 \): \[ 7^n + 3n - 1 \equiv 4 + 6 - 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9 \]
Итак, мы видим, что \( 7^n + 3n - 1 \) будет кратно 9 для любого \( n \). Это означает, что ваше выражение будет делиться на 9 для всех целых значений \( n \).
