При каком значение m векторы MN и DF коллинеарны, если M (-2; -1; 2), N (4; -3; 6;) D( -1; m-1;1), F(-4; -1; m)

Чтобы определить, при каком значении \( m \) векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{DF} \) коллинеарны, необходимо сначала найти координаты этих векторов.

Вектор \( \vec{MN} \) можно найти как: \[ \vec{MN} = N - M = (4 - (-2), -3 - (-1), 6 - 2) = (4 + 2, -3 + 1, 6 - 2) = (6, -2, 4) \]

Теперь найдем вектор \( \vec{DF} \): \[ \vec{DF} = F - D = (-4 - (-1), -1 - (m - 1), m - 1) = (-4 + 1, -1 - m + 1, m - 1) = (-3, -m, m - 1) \]

Векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{DF} \) коллинеарны, если их векторы пропорциональны. Это можно выразить через равность: \[ \frac{6}{-3} = \frac{-2}{-m} = \frac{4}{m - 1} \]

Решим первое равенство: \[ \frac{6}{-3} = -2 \Rightarrow -2 = \frac{-2}{-m} \Rightarrow -2m = -2 \Rightarrow m = 1 \]

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение второму равенству: \[ \frac{-2}{-m} = \frac{4}{m - 1} \] Подставим \( m = 1 \): \[ \frac{-2}{-1} = \frac{4}{1 - 1} \] Это равно: \[ 2 = \text{неопределено} \] Поскольку деление на ноль не определено, давайте попробуем найти значение \( m \) из другого равенства: \[ \frac{6}{-3} = \frac{4}{m - 1} \]

Приравняем: \[ -2 = \frac{4}{m - 1} \] Перепишем уравнение: \[ -2(m - 1) = 4 \Rightarrow -2m + 2 = 4 \Rightarrow -2m = 4 - 2 \Rightarrow -2m = 2 \Rightarrow m = -1 \]

Подводя итог, векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{DF} \) коллинеарны при \( m = -1 \).