7/х-7 - 2/х - 3х/х²-49 + 21/49-х²

Чтобы решить выражение \( \frac{7}{x} - 7 - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x^2 - 49} + \frac{21}{49 - x^2} \), сначала упростим его шаг за шагом.

1. Обратите внимание, что \( x^2 - 49 \) можно разложить на множители:
   \( x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \).
   Соответственно, \( 49 - x^2 = -(x^2 - 49) = -(x - 7)(x + 7) \).

2. Заметим также, что дроби \( \frac{3x}{x^2 - 49} \) и \( \frac{21}{49 - x^2} \) являются противоположными: \[ \frac{21}{49 - x^2} = -\frac{21}{x^2 - 49}. \]

3. Подставим это в выражение: \[ \frac{7}{x} - 7 - \frac{2}{x} - \frac{3x}{(x - 7)(x + 7)} - \left( -\frac{21}{(x - 7)(x + 7)} \right). \]

4. Упрощая, мы получаем: \[ \frac{7}{x} - \frac{2}{x} - 7 - \frac{3x - 21}{(x - 7)(x + 7)}. \] \[ = \frac{5}{x} - 7 - \frac{3x - 21}{(x - 7)(x + 7)}. \]

5. Далее, давайте упростим дробь: \[ 3x - 21 = 3(x - 7). \] Таким образом: \[ \frac{3x - 21}{(x - 7)(x + 7)} = \frac{3(x - 7)}{(x - 7)(x + 7)} = \frac{3}{x + 7}, \ \text{при} \ x \neq 7. \]

6. Подставим это в общее выражение: \[ \frac{5}{x} - 7 - \frac{3}{x + 7}. \]

Теперь мы имеем упрощенное выражение. Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю, который равен \( x(x + 7) \): \[ \frac{5}{x} = \frac{5(x + 7)}{x(x + 7)} = \frac{5x + 35}{x(x + 7)}, \] \[ -7 = -\frac{7x(x + 7)}{x(x + 7)} = -\frac{7x^2 + 49x}{x(x + 7)}, \] \[ -\frac{3}{x + 7} = -\frac{3x}{x(x + 7)}. \]

Теперь складываем все: \[ \frac{5x + 35 - 7x^2 - 49x - 3x}{x(x + 7)} = \frac{-7x^2 - 47x + 35}{x(x + 7)}. \]

Таким образом, конечное выражение: \[ \frac{-7x^2 - 47x + 35}{x(x + 7)}. \]

Это и есть упрощенное выражение для данного задания! Если есть дополнительные вопросы по этому материалу или по другим темам, буду рад помочь.