треугольник ABC AB=3 BC=? AC=✓2 A=45° решение по теореме косинусов
Чтобы решить задачу о треугольнике ABC с данными сторонами и углом, применим теорему косинусов. Напомню формулу теоремы косинусов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
где:
- \( c \) — сторона, напротив угла \( C \),
- \( a \) и \( b \) — другие две стороны,
- \( C \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \).
В вашем случае:
- \( AB = c = 3 \),
- \( AC = b = \sqrt{2} \),
- угол \( A = 45^\circ \).
Нам нужно найти сторону \( BC = a \).
Подставим известные значения в уравнение:
\[ 3^2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 + a^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos(45^\circ) \]
Значит:
\[ 9 = 2 + a^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Упростим выражение:
\[ 9 = 2 + a^2 - 2a \]
Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ 0 = a^2 - 2a + 2 - 9 \]
\[ 0 = a^2 - 2a - 7 \]
Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) \]
\[ D = 4 + 28 = 32 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} \]
\[ a = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2} \]
Так как длина стороны треугольника должна быть положительной, принимаем только положительное значение:
\[ a = 1 + 2\sqrt{2} \]
Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( 1 + 2\sqrt{2} \).
