. В школьную библиотеку привезли новые учебники для начальной школы (с 1 по 4 класс), по 270 учебников для каждой параллели. В книжном шкафу 8 полок, на каждую помещается 30 учебников. Сколько шкафов нужно поставить в библиотеку, чтоб разместить в них все новые учебники? 3. Найдите значение выражения: log,8,1 + log310 4. А) В школьном буфете осталось в продаже 5 пирожных (все разных видов). Сколько способов купить трём студентам по одному пирожному каждому? Б) В школьном буфете осталось в продаже 5 пирожных (все разных видов). Сколько способов Пете купить три пирожных? В) Сколько способов из цифр 1,2,3,5,7,9 составить шестизначное четное число так, чтобы цифры в числе не повторялись? 5. Даны координаты векторов: @(5; 12; 84), Б(3; -1; 2] А) Найдите длину вектора 2. Б) Вычислите скалярное произведение векторов Б В) Найдите координаты вектора, равного +35 Г) Найдите координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ, если А(17; -2; 0), В( 4; 17; 25) 6. Упростите выражение: cos 2a 2ctg a sin² а 8. Вычислите площадь ограниченной линиями: f(x)-8x+6x2, y-0, x-1, x-4 фигуры, 9. Найдите объем бочки, если ес высота 10дм, а диаметр дна бочки 80см. Ответ округлите кубических дециметров. до кубических дециметров

Давайте разберем каждый пункт по очереди:

1. Количество шкафов для учебников:

   • У нас есть 4 класса (1-4) и по 270 учебников для каждого класса: \( 4 \text{ класса} \times 270 \text{ учебников} = 1080 \text{ учебников} \).
   • В одном шкафу 8 полок, на каждой из которых помещается 30 учебников: \( 8 \text{ полок} \times 30 \text{ учебников} = 240 \text{ учебников в шкафу} \).
   • Теперь найдем, сколько шкафов нужно: \( \frac{1080 \text{ учебников}}{240 \text{ учебников в шкафу}} = 4.5 \).
   • Поскольку шкафы можно ставить только целиком, округляем до целого числа: нужно 5 шкафов.

2. Значение выражения \( \log_8 1 + \log_3 10 \):

   • \( \log_8 1 = 0 \) (поскольку любое число в степени 0 дает 1).
   • Таким образом, остаётся только \( \log_3 10 \). Это значение можно оставлять в таком виде, так как оно уже является логарифмом. Финальный ответ: \( \log_3 10 \).

3. А) Способы покупки пирожных:

   • У нас есть 5 разных пирожных, и каждого студента нужно угостить одним пирожным.
   • Без учета порядка, количество способов, которыми 3 студента могут выбрать пирожные, рассчитывается как комбинация: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) , где \( n = 5 \) и \( k = 3 \): \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10 \) способов.

   Б) Способы для Пети купить три пирожных:

   • Если Петя может выбрать 3 пирожных из 5, и порядок не важен, то мы также используем формулу комбинаций: \( C(5, 3) = 10 \) способов.

   В) Способы составить шестизначное четное число:

   • Для образования четного числа необходимо, чтобы последняя цифра была четной. У нас есть 1, 2, 3, 5, 7, 9. Из них четные - только 2. Это значит, что число обязательно должно заканчиваться на 2.
   • Первую пятерку нам нужно заполнить любыми пятью оставшимися цифрами (1, 3, 5, 7, 9), всего 5 позиций: \( 5! = 120 \).
   • Таким образом, всего возможных способов составить шестизначное четное число: 120.

4. Даны координаты векторов A и B:

   • А) Длина вектора B: Длину вектора можно найти по формуле: \( ||\mathbf{B}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \).

   • Б) Скалярное произведение векторов A и B: Скалярное произведение рассчитывается как: \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (5 \cdot 3) + (12 \cdot (-1)) + (84 \cdot 2) = 15 - 12 + 168 = 171 \).

   • В) Координаты вектора, равного \( \mathbf{A} + \mathbf{B} \): Суммируем координаты векторов: \( (5 + 3, 12 - 1, 84 + 2) = (8, 11, 86) \).

   • Г) Координаты точки С, являющейся серединой отрезка AB: Координаты середины находят по формуле: \( \text{C} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) = \left( \frac{17 + 4}{2}, \frac{-2 + 17}{2}, \frac{0 + 25}{2} \right) = \left( 10.5, 7.5, 12.5 \right) \).

5. Упрощение выражения: \( \cos 2a - 2\cot a \sin^2 a \)

   • Знаем, что \( \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \) и \( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \).
   • Выражение можно упростить, подставив эти формулы, но общая формула будет зависеть от самих значений \( a \).

6. Вычисление площади фигуры:

   • Площадь, ограниченная графиками функций, может быть найдена интегрированием: \( \text{Площадь} = \int_{1}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx \)
   • Больше информации о функции \( f(x) \) и границе \( g(x) \) необходимо для окончательного вычисления площадей.

7. Объём бочки:

   • Объём можно вычислить с помощью формулы для цилиндра: \( V = \pi R^2 h \)
   • Прежде чем подставлять, не забудьте перевести диаметр в радиус \( R = \frac{80}{2} = 40 \) см (или 4 дм). Высота \( h = 10 \) дм.
   • Объём: \( V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 \approx 160\pi \) кубических дециметров, округлённый до ближайшего числа, и далее результаты – 502 кубических дециметров.

Если нужно больше примеров или пояснений по какому-то пункту, не стесняйтесь задавать вопросы!