Икс в квадрате + 6 икс + 7 равняется модуль икс + 3 модуль закрывается.

Чтобы решить уравнение \( x^2 + 6x + 7 = |x| + 3 \), давайте рассмотрим его по частям.

Сначала запишем это уравнение в стандартной форме:

\[ x^2 + 6x + 7 - |x| - 3 = 0 \]

Это упрощается до:

\[ x^2 + 6x + 4 - |x| = 0 \]

Теперь давайте рассмотрим два случая: когда \( x \geq 0 \) и когда \( x < 0 \).

Первый случай: \( x \geq 0 \)

При этом \( |x| = x \), и уравнение становится:

\[ x^2 + 6x + 4 - x = 0 \]

Это упрощается до:

\[ x^2 + 5x + 4 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 3}{2} \]

Получаем два значения:

1. \( x_1 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) (не подходит, так как \( x \geq 0 \))
2. \( x_2 = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \) (также не подходит)

В этом случае корней нет.

Второй случай: \( x < 0 \)

При этом \( |x| = -x \), и уравнение становится:

\[ x^2 + 6x + 4 + x = 0 \]

Это упрощается до:

\[ x^2 + 7x + 4 = 0 \]

Снова найдем дискриминант:

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 49 - 16 = 33 \]

Находим корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{2} \]

Теперь нужно проверить, находятся ли корни в пределах \( x < 0 \):

1. \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{33}}{2} \) (это положительное число, поэтому не подходит)
2. \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2} \) (это отрицательное число, что подходит)

Таким образом, единственный корень уравнения:

\[ x = \frac{-7 - \sqrt{33}}{2} \]

Этот корень является решением уравнения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы по данной теме или другим разделам математики, не стесняйтесь задавать!