Решить уравнение x^2+6x+7=|x+3|

Давайте решим уравнение \( x^2 + 6x + 7 = |x + 3| \) шаг за шагом.

1. Начнем с того, что разберемся с абсолютным значением. Мы будем рассматривать два случая, так как абсолютное значение может быть равно или положительному, или отрицательному выражению.

Случай 1: \( x + 3 \geq 0 \) (то есть \( x \geq -3 \))

В этом случае, \( |x + 3| = x + 3 \).

Подставим это в уравнение:

\[ x^2 + 6x + 7 = x + 3 \]

Переносим все на одну сторону:

\[ x^2 + 6x - x + 7 - 3 = 0 \]

Сокращаем:

\[ x^2 + 5x + 4 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем пометить его по формуле или разложить на множители. Разложение:

\[ (x + 4)(x + 1) = 0 \]

Таким образом, \( x = -4 \) или \( x = -1 \). Однако, нам нужно убедиться, что оба корня удовлетворяют условию \( x \geq -3 \).

\( x = -4 \) не удовлетворяет, а \( x = -1 \) подходит.

Случай 2: \( x + 3 < 0 \) (то есть \( x < -3 \))

В этом случае, \( |x + 3| = -(x + 3) \).

Подставим это в уравнение:

\[ x^2 + 6x + 7 = - (x + 3) \]

Переносим все на одну сторону:

\[ x^2 + 6x + 7 + x + 3 = 0 \]

Сокращаем:

\[ x^2 + 7x + 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ (x + 5)(x + 2) = 0 \]

Таким образом, \( x = -5 \) или \( x = -2 \). Проверим их на условие \( x < -3 \).

\( x = -5 \) удовлетворяет, а \( x = -2 \) - нет.

Теперь давайте подведем итоги. Корни уравнения \( x^2 + 6x + 7 = |x + 3| \):

1. \( x = -1 \) из первого случая.
2. \( x = -5 \) из второго случая.

Ответ: \( x = -1 \) и \( x = -5 \).