Решить систему уравнений методом Гауса х-y-z=3 {2x-y+z=0 x-2y-2z=1

Для решения системы уравнений методом Гаусса, давайте начнем с записи системы в виде матрицы, а затем поэтапно будем приводить её к ступенчатому виду.

Данная система уравнений:

1. \( x - y - z = 3 \)
2. \( 2x - y + z = 0 \)
3. \( x - 2y - 2z = 1 \)

Сначала запишем коэффициенты в матричном виде:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 3 \\ 2 & -1 & 1 & | & 0 \\ 1 & -2 & -2 & | & 1 \end{pmatrix} \]

Теперь применим метод Гаусса, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду.

1. Уменьшим вторую строку, вычтя из неё 2 умноженную на первую строку:

\[ 2 - 2 \cdot 1 = 0 \\ -1 - 2 \cdot (-1) = 1 \\ 1 - 2 \cdot (-1) = 3 \\ 0 - 2 \cdot 3 = -6 \]

Получаем:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & -6 \\ 1 & -2 & -2 & | & 1 \end{pmatrix} \]

2. Уменьшим третью строку, вычитая из неё первую строку:

\[ 1 - 1 = 0 \\ -2 - (-1) = -1 \\ -2 - (-1) = -1 \\ 1 - 3 = -2 \]

Теперь матрица выглядит так:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & -6 \\ 0 & -1 & -1 & | & -2 \end{pmatrix} \]

3. Теперь добавим ко второй строке третью строку, чтобы исключить переменную y в третьей строке:

\[ 0 + 0 = 0 \\ 1 + (-1) = 0 \\ 3 + (-1) = 2 \\ -6 + (-2) = -8 \]

Получаем строку:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & -6 \\ 0 & 0 & 2 & | & -8 \end{pmatrix} \]

4. Теперь преобразуем последнюю строку:

\[ 0 = 0 \\ 0 = 0 \\ 2z = -8 \implies z = -4 \]

5. Подставляем значение \( z = -4 \) во второе уравнение:

\[ y + 3(-4) = -6 \implies y - 12 = -6 \implies y = 6 \]

6. Подставляем \( y = 6 \) и \( z = -4 \) в первое уравнение:

\[ x - 6 + 4 = 3 \implies x - 2 = 3 \implies x = 5 \]

Таким образом, мы получили решение системы:

\[ x = 5, \quad y = 6, \quad z = -4 \]

Итак, ответ:

\( (x, y, z) = (5, 6, -4) \).