В данном задаче нам необходимо найти расстояние от точки ( A ) до прямой ( CA_1 ) в прямоугольном параллелепипеде ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ).
Сначала запишем координаты точек параллелепипеда. Пусть:
- ( A(0, 0, 0) )
- ( B(35, 0, 0) )
- ( C(35, 35, 0) )
- ( D(0, 35, 0) )
- ( A_1(0, 0, \frac{5}{2}) )
- ( B_1(35, 0, \frac{5}{2}) )
- ( C_1(35, 35, \frac{5}{2}) )
- ( D_1(0, 35, \frac{5}{2}) )
Теперь нам нужно определить уравнение прямой ( CA_1 ). Для этого найдем векторы, определяющие направление этой прямой.
Вектор ( \overrightarrow{CA_1} ) можно найти как:
[
\overrightarrow{CA_1} = A_1 - C = (0, 0, \frac{5}{2}) - (35, 35, 0) = (-35, -35, \frac{5}{2}).
]
Теперь мы можем использовать формулу расстояния от точки до прямой в пространстве. Для начала зададим параметры прямой ( CA_1 ) и вектор, перпендикулярный ней. Уравнение прямой можно записать в параметрической форме, а также найдем вектор, перпендикулярный вектору ( \overrightarrow{CA_1} ).
Расстояние ( d ) от точки ( A ) до прямой можно найти по формуле:
[
d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA_1}|}{|\overrightarrow{CA_1}|},
]
где ( \overrightarrow{AB} ) — вектор из точки ( A ) в точку ( C ).
Итак, мы найдем этот вектор:
[
\overrightarrow{AC} = C - A = (35, 35, 0).
]
Теперь нам нужно найти скалярное произведение:
[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA_1} = (35, 35, 0) \cdot (-35, -35, \frac{5}{2}) = 35 \cdot (-35) + 35 \cdot (-35) + 0 \cdot \frac{5}{2} = -1225 - 1225 = -2450.
]
Теперь находим длину вектора ( \overrightarrow{CA_1} ):
[
|\overrightarrow{CA_1}| = \sqrt{(-35)^2 + (-35)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{1225 + 1225 + \frac{25}{4}} = \sqrt{2450 + 6.25} = \sqrt{2456.25}.
]
Теперь подставим все в формулу для расстояния:
[
d = \frac{|-2450|}{\sqrt{2456.25}} = \frac{2450}{\sqrt{2456.25}}.
]
Мы можем приближенно вычислить:
[
\sqrt{2456.25} \approx 49.56.
]
Таким образом, расстояние:
[
d \approx \frac{2450}{49.56} \approx 49.4 \text{ единиц}.
]
Итак, расстояние от точки ( A ) до прямой ( CA_1 ) составляет приблизительно 49.4 единицы.
