X⁴-x²-12/x³+1>0

Для решения неравенства \(\frac{x^4 - x^2 - 12}{x^3 + 1} > 0\) начнем с анализа числителя и знаменателя.

1. Числитель: \(x^4 - x^2 - 12\)

   Обозначим \(y = x^2\). Тогда числитель может быть переписан как: \[ y^2 - y - 12 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Корни уравнения: \[ y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \] То есть: \[ y_1 = 4, \quad y_2 = -3 \] Поскольку \(y = x^2\) не может быть отрицательным, остается только \(x^2 = 4\), отсюда \(x = 2\) и \(x = -2\).

   Следовательно, факторизуем числитель: \[ x^4 - x^2 - 12 = (x^2 - 4)(x^2 + 3) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 3) \] Обратите внимание, что \(x^2 + 3\) всегда положителен для всех действительных \(x\).

2. Знаменатель: \(x^3 + 1\)

   Знаменатель можно факторизовать, используя формулу куба суммы: \[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \] \(x^2 - x + 1\) всегда положителен, так как его дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3\) меньше нуля.

3. Анализ знаков:

   Теперь у нас есть: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 3)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} > 0 \] Определим критические точки:

   • \(x = 2\)
   • \(x = -2\)
   • \(x = -1\) (знаменатель становится нулевым)

4. Исследование знаков:

   Рассмотрим интервалы:

   • \( (-\infty, -2) \)
   • \( (-2, -1) \)
   • \( (-1, 2) \)
   • \( (2, +\infty) \)

   Проверим знаки в каждом из интервалов:

   • На интервале \( (-\infty, -2) \): \(x = -3\) \(\Rightarrow \) знак: \(-\)
   • На интервале \( (-2, -1) \): \(x = -1.5\) \(\Rightarrow \) знак: \(+\)
   • На интервале \( (-1, 2) \): \(x = 0\) \(\Rightarrow \) знак: \(-\)
   • На интервале \( (2, +\infty) \): \(x = 3\) \(\Rightarrow \) знак: \(+\)

5. Итог:

   Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: \[ (-2, -1) \cup (2, +\infty) \]

Ответ: \(x \in (-2, -1) \cup (2, +\infty)\).