Вот исправленный текст с необходимыми знаками препинания и указанием мест для кавычек:
27 января 1837 года на (1) «Чёрной речке» (2) состоялась дуэль Александра Пушкина с Жоржем Дантесом. Ещё до его смерти по Петербургу распространились слухи о смерти поэта, они дошли и до Лермонтова. Уже 28 января первые 56 стихов (3) «Смерти поэта» (4) были закончены, и сочинение стало стремительно распространяться в списках (5) «Стихи Лермонтова на смерть поэта», - писал литературный критик Иван Панаев, - (6) переписывались в десятках тысяч экземпляров (7) и перечитывались и выучивались наизусть всеми (8).
Знаки препинания, которые можно добавить:
- Запятая после слова «поэта» в предложении «переписывались в десятках тысяч экземпляров и перечитывались и выучивались наизусть всеми» может быть добавлена для выделения однородных членов.