Две стороны треугольника 3 см и 12 см угол между ними 45°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Для решения задачи начнем с нахождения третьей стороны треугольника, используя закон косинусов. У нас есть две стороны треугольника \( a = 3 \, \text{см} \) и \( b = 12 \, \text{см} \), а также угол между ними \( \gamma = 45^\circ \).

Формула закона косинусов выглядит так:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

Теперь подставим известные значения:

\[ c^2 = 3^2 + 12^2 - 2 \cdot 3 \cdot 12 \cdot \cos(45^\circ) \]

Значение \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), поэтому:

\[ c^2 = 9 + 144 - 2 \cdot 3 \cdot 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь вычислим это:

\[ c^2 = 9 + 144 - \frac{72}{\sqrt{2}} \]

Для упрощения выражения, умножим \( \frac{72}{\sqrt{2}} \) на \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \):

\[ \frac{72}{\sqrt{2}} = \frac{72 \sqrt{2}}{2} = 36\sqrt{2} \]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\[ c^2 = 153 - 36\sqrt{2} \]

Теперь находим \( c \) (третью сторону):

\[ c = \sqrt{153 - 36\sqrt{2}} \]

Теперь перейдем к вычислению площади треугольника. Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 12 \cdot \sin(45^\circ) \]

Значение \( \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{36}{2\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \]

Итак, в итоге мы нашли:

1. Третью сторону треугольника \( c = \sqrt{153 - 36\sqrt{2}} \).
2. Площадь треугольника \( S = 9\sqrt{2} \, \text{см}^2 \).