решить СЛАУ методом Гаусса и найти сумму корней. {3x1-x2+4x3=1 {2x1-3x2+4x3=0 {5x1+x2+6x3=2
Для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, нужно привести матрицу к ступенчатому виду, а затем решить для переменных. Давайте начнем.
Дана система уравнений:
\[ \begin{cases} 3x_1 - x_2 + 4x_3 = 1 \\ 2x_1 - 3x_2 + 4x_3 = 0 \\ 5x_1 + x_2 + 6x_3 = 2 \end{cases} \]
Сначала записываем расширенную матрицу этой системы:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & | & 1 \\ 2 & -3 & 4 & | & 0 \\ 5 & 1 & 6 & | & 2 \end{pmatrix} \]
Теперь будем использовать метод Гаусса для приведения матрицы к верхнему треугольному виду.
- Первая операция: вычтем из второй строки, умноженной на \(\frac{2}{3}\), первую строку. Получим:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & -\frac{7}{3} & \frac{2}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 5 & 1 & 6 & | & 2 \end{pmatrix} \]
Затем вычтем из третьей строки, умноженной на \(\frac{5}{3}\), первую строку:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & -\frac{7}{3} & \frac{2}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{8}{3} & \frac{2}{3} & | & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]
- Далее, преобразуем вторую строку, умножая её на \(-\frac{3}{7}\):
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{7} & | & \frac{2}{7} \\ 0 & \frac{8}{3} & \frac{2}{3} & | & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]
- Теперь уберем элемент во второй колонке из третьей строки, вычитая \(\frac{8}{3}\) умноженное на вторую строку:
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{7} & | & \frac{2}{7} \\ 0 & 0 & \frac{4}{7} & | & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} \]
- Приведем третью строку к более простому виду, умножив на \(\frac{7}{4}\):
\[ \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{7} & | & \frac{2}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} \]
Теперь мы можем решить систему, начиная с последнего уравнения:
- Из третьего уравнения: \(x_3 = -\frac{1}{4}\).
- Подставим \(x_3\) во второе уравнение:
\[ x_2 - \frac{2}{7}(-\frac{1}{4}) = \frac{2}{7} \] \[ x_2 + \frac{1}{14} = \frac{2}{7} \] \[ x_2 = \frac{2}{7} - \frac{1}{14} = \frac{4}{14} - \frac{1}{14} = \frac{3}{14} \]
- Подставим \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение:
\[ 3x_1 - \frac{3}{14} + 4(-\frac{1}{4}) = 1 \] \[ 3x_1 - \frac{3}{14} - 1 = 1 \] \[ 3x_1 = 1 + 1 + \frac{3}{14} = 2 + \frac{3}{14} = \frac{28 + 3}{14} = \frac{31}{14} \] \[ x_1 = \frac{31}{42} \]
Таким образом, мы получили значения:
\[ x_1 = \frac{31}{42}, \quad x_2 = \frac{3}{14}, \quad x_3 = -\frac{1}{4} \]
Теперь найдем сумму корней:
\[ S = x_1 + x_2 + x_3 = \frac{31}{42} + \frac{3}{14} - \frac{1}{4} \]
Для сложения, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 42, 14 и 4 равен 84:
\[ S = \frac{31 \cdot 2}{84} + \frac{3 \cdot 6}{84} - \frac{1 \cdot 21}{84} \] \[ S = \frac{62 + 18 - 21}{84} = \frac{59}{84} \]
Таким образом, сумма корней равна \(\frac{59}{84}\).
