8.3. Найдите: 1) число перестановок цифр, изменяющих число 3334; 2) число перестановок цифр, не изменяющих число 3334; 3) число перестановок букв, не изменяющих слово…

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

1. Число перестановок цифр, изменяющих число 3334:

Для нахождения числа перестановок, изменяющих число 3334, нужно определить все уникальные перестановки цифр этого числа. У нас есть цифры: 3, 3, 3 и 4. Общее количество перестановок для 4 цифр можно посчитать по формуле:

\[ P = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!} \]

где \(n\) — это общее количество цифр, а \(k_i\) — количество одинаковых элементов. В нашем случае:

• \(n = 4\) (всего 4 цифры),
• \(k_1 = 3\) (три троечки),
• \(k_2 = 1\) (одна четверка).

Подставляем значения в формулу:

\[ P = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4. \]

Таким образом, количество перестановок цифр, изменяющих число 3334, равно 4.

2. Число перестановок цифр, не изменяющих число 3334:

Перестановки, не изменяющие число, — это такие, которые приводят к тем же самой последовательности цифр. В данном случае это только одна перестановка: 3334 сама по себе. Следовательно, число перестановок, не изменяющих число 3334, равно 1.

3. Число перестановок букв, не изменяющих слово "комбинаторика":

В слове "комбинаторика" у нас есть следующие буквы:

• к - 2
• о - 2
• м - 1
• б - 1
• и - 2
• н - 1
• а - 1
• т - 1
• р - 1

Всего букв в слове 13. Теперь используем ту же формулу перестановок, как и в предыдущем примере:

\[ P = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!} \]

где

• \(n = 13\),
• \(k_1 = 2\) (для к),
• \(k_2 = 2\) (для о),
• \(k_3 = 2\) (для и),
• остальные буквы (м, б, н, а, т, р) — по 1.

Теперь подставляем значения:

\[ P = \frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{6227020800}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{6227020800}{8} = 778377600. \]

Таким образом, число перестановок букв, не изменяющих слово "комбинаторика", равно 778377600.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобраться с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!