в небольшой компании работают 40 сотрудников, из них: 22 сотрудников владеют английским языком ( множество А) 18 сотрудников владеют немецким языком ( множество B) 15 сотрудников…
В небольшой компании работают 40 сотрудников, из них: 22 сотрудников владеют английским языком ( множество А) 18 сотрудников владеют немецким языком ( множество B) 15 сотрудников владеют французским языком ( множество C) также известно что: 9 сотрудников владеют английским и немецким языками 6 сотрудников владеют и немецким и французским языками 4 сотрудников владеют английским и французским языками 3 сотрудников владеет всеми тремя языками сколько сотрудников владеют только французским языком?
Для решения этой задачи воспользуемся принципами теории множеств и составим таблицу для подсчета количества сотрудников, владеющих различными языками.
Обозначим количество сотрудников, владеющих:
- английским языком, как \( |A| = 22 \)
- немецким языком, как \( |B| = 18 \)
- французским языком, как \( |C| = 15 \)
Известно, что:
- \( |A \cap B| = 9 \) (владеют английским и немецким)
- \( |B \cap C| = 6 \) (владеют немецким и французским)
- \( |A \cap C| = 4 \) (владеют английским и французским)
- \( |A \cap B \cap C| = 3 \) (владеют всеми тремя языками)
Теперь применим формулу включения-исключения для нахождения числа сотрудников, владеющих только французским языком:
Шаг 1: Найдем количество сотрудников, владеющих только французским языком.
Количество сотрудников, владеющих французским языком \( |C| \), можно разбить на три категории:
- Владельцы только французского языка
- Владельцы французского и немецкого языков, но не английского
- Владельцы французского и английского языков, но не немецкого
- Владельцы всех трех языков
Обозначим количество сотрудников, владеющих только французским языком, как \( x \).
Шаг 2: Выразим остальных через \( x \).
Тогда, по данным:
- Владельцы только французского языка: \( x \)
- Владельцы немецкого и французского (без английского): \( |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 6 - 3 = 3 \)
- Владельцы английского и французского (без немецкого): \( |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 4 - 3 = 1 \)
- Владельцы всех трех языков: \( |A \cap B \cap C| = 3 \)
Шаг 3: Составим уравнение для общего количества сотрудников, говорящих на французском языке.
Сложим все это:
\[ x + 3 + 1 + 3 = |C| \]
Подставим значение \( |C| = 15 \):
\[ x + 7 = 15 \]
Шаг 4: Вычислим \( x \).
\[ x = 15 - 7 = 8 \]
Итак, количество сотрудников, владеющих только французским языком, равно 8.
Ответ:
8 сотрудников владеют только французским языком.
